新課程下數(shù)學(xué)概念的教學(xué)策略

貴州省仁懷市第一中學(xué)   胡繼龍 

   數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式，數(shù)學(xué)公式，定理和數(shù)學(xué)方法都反映了數(shù)學(xué)概念和對(duì)象間的關(guān)系，可見(jiàn)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)其實(shí)就是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，另外，深入的理解數(shù)學(xué)概念，會(huì)使學(xué)生的抽象思維能力得到鍛煉， 在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)概念的教學(xué)提出了更高的要求，要求學(xué)生會(huì)解釋概念，會(huì)舉例印證概念，會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出概念，因此教師在教學(xué)中要改變傳統(tǒng)的概念教學(xué)方式，多研究數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法。中學(xué)數(shù)學(xué)里有各種各樣的數(shù)學(xué)概念，由于概念的內(nèi)容和它在數(shù)學(xué)中的地位不同，概念也就有簡(jiǎn)單和易學(xué)之分，有的概念在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中起主導(dǎo)作用，有的概念不是關(guān)鍵性的，因此教學(xué)要分清主次，抓住重點(diǎn)，理清關(guān)系。下面探討有關(guān)概念的教學(xué)策略。

一 在學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，要注意概念的引入問(wèn)題

  數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生方式是多種多樣的，有的是為解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，有的是在原有的概念的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，因此學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的途徑也是多種多樣的。但無(wú)論數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過(guò)程如何，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有自身的具體內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)課程中，很多的數(shù)學(xué)概念都有其現(xiàn)實(shí)模型，對(duì)于這樣的一些現(xiàn)實(shí)模型，學(xué)生并不陌生，因此在概念的教學(xué)中，要注意概念產(chǎn)生的具體途徑，產(chǎn)生的背景，注重概念的形成過(guò)程，使數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)顯得自然而非強(qiáng)加于人。

  案例：向量概念的引入

  向量是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一，向量概念是學(xué)好平面向量的基礎(chǔ)，在教學(xué)中，要在概念的引入上注意概念產(chǎn)生的實(shí)際背景，呈現(xiàn)的例子要適當(dāng)，要和學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。教學(xué)時(shí)，除了教材上的例子以外，可以多補(bǔ)充一些例子。例如，可以補(bǔ)充如下實(shí)例：

  實(shí)例1：在一座小島上，如何確定一艘正在海上航行的輪船的位置？需要些什么條件？

  實(shí)例2：用5N的力沿水平方向可以拉動(dòng)一個(gè)水平放置的物體，試問(wèn)如果用沿水平方向成30°大小為5N的力是否能拉動(dòng)物體？你能否標(biāo)出物體受到的重力的方向?

  通過(guò)這兩個(gè)實(shí)例，學(xué)生了解在現(xiàn)實(shí)中存在既有大小又有方向的量，在學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步設(shè)置如下的問(wèn)題：

  問(wèn)題1：請(qǐng)舉出一些具有大小又有方向的量？

  問(wèn)題2：只有大小沒(méi)有方向的量存在嗎？只有方向而沒(méi)有大小的量存在嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

  通過(guò)這樣的思考，學(xué)生對(duì)向量的概念就有了初步的認(rèn)識(shí)，接著，再給出向量的概念也就水到渠成了。在概念的教學(xué)中，具體事例的數(shù)量不能太少，否則學(xué)生對(duì)概念的感知不充分，對(duì)掌握概念所必須的經(jīng)驗(yàn)不能建立起來(lái)，就難以對(duì)概念對(duì)象的各種要素進(jìn)行全面鑒別。上面的案例中恰到好處的呈現(xiàn)出教材上沒(méi)有的事例，再配合教材上的例子，學(xué)生應(yīng)該容易習(xí)得向量的概念。

  二、教學(xué)時(shí)注意概念的內(nèi)涵和外延

  概念的內(nèi)涵指的是概念所反映對(duì)象的本質(zhì)特征；概念的外延指的是概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象，概念的內(nèi)涵是質(zhì)的方面，概念的外延是概念量的方面，它說(shuō)明概念所反映的事物有哪些。概念的內(nèi)涵和外延是對(duì)立統(tǒng)一的，內(nèi)涵明確，則外延清晰；外延清晰則內(nèi)涵明確。例如在新課程必修4的角的概念的推廣的教學(xué)中，角的概念的內(nèi)涵是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形，外延就是角的分類：正角，負(fù)角和零角。在教學(xué)中，可以通過(guò)變式來(lái)明確概念的外延。

  教學(xué)案例：函數(shù)奇偶性的教學(xué)（人教A版）

  函數(shù)的奇偶性是必修1的內(nèi)容，是函數(shù)單調(diào)性之后很重要的一個(gè)性質(zhì)。在教材中，通過(guò)具體的函數(shù)得到了偶函數(shù)的概念，

由，得到了奇函數(shù)的概念。教材中通過(guò)例5讓學(xué)生判斷函數(shù)的奇偶性，筆者認(rèn)為，通過(guò)這樣的習(xí)題還沒(méi)有真正明確函數(shù)奇偶性這個(gè)概念的外延�？梢酝ㄟ^(guò)如下的實(shí)際例子來(lái)補(bǔ)充完成：

例：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

   （1）    （2）

   （3）        （4）

    其中（1）和（2）是讓學(xué)生首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是判斷函數(shù)奇偶性的前提條件，但有的學(xué)生會(huì)直接套用或這說(shuō)明學(xué)生沒(méi)有真正理解函數(shù)奇偶性的定義，這時(shí)教師可以讓學(xué)生通過(guò)作函數(shù)的圖像來(lái)觀察圖像是否關(guān)于軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而得出定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的前提條件，第（3）題是讓學(xué)生明白常數(shù)函數(shù)也具有奇偶性，在教學(xué)中可以把 改為，再讓學(xué)生判斷，給出第（4）題的目的是讓學(xué)生清楚分段函數(shù)也可能具有奇偶性。在這個(gè)案例中，通過(guò)可能出現(xiàn)的各種情況讓學(xué)生明白了函數(shù)奇偶性這個(gè)概念的內(nèi)涵。總之，概念的教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，盡量從各個(gè)方面呈現(xiàn)概念的外延，外延清楚則內(nèi)涵就明確了。

    三、在概念的教學(xué)中，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力

    長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生認(rèn)為多做題，就能學(xué)好數(shù)學(xué)，教師認(rèn)為多講一些考試題型，學(xué)生的成績(jī)就會(huì)提高，在新課程理念中，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由原來(lái)的被動(dòng)，接受式學(xué)習(xí)變?yōu)樽灾魈骄�，合作交流，這對(duì)學(xué)生的交流能力提出了更高的要求，如何讓學(xué)生正確的表達(dá)自己的思想，這是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，實(shí)踐證明，學(xué)生在學(xué)習(xí)中，積極主動(dòng)思考，善于發(fā)表不同的意見(jiàn)，其數(shù)學(xué)成績(jī)也很好，因此，教師要多培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，學(xué)生能否用自己的語(yǔ)言敘述概念，解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，這是學(xué)生是否掌握好數(shù)學(xué)概念的標(biāo)志。所以語(yǔ)言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過(guò)程中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。例如在函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)中，為了訓(xùn)練學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述函數(shù)單調(diào)性的概念，并根據(jù)你的敘述總結(jié)出判斷函數(shù)單調(diào)性的操作步驟。

    又如，在函數(shù)奇偶性的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者從開(kāi)始的引入起就注意訓(xùn)練學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。

    （1）：通過(guò)觀察函數(shù)的圖像，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能否根據(jù)函數(shù)的解析式用自己的語(yǔ)言來(lái)描述圖像關(guān)于軸對(duì)稱的特征？

  學(xué)生通過(guò)圖像或者通過(guò)完成教材中的函數(shù)值對(duì)應(yīng)表，總結(jié)出：自變量互為相反數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值相等這樣的結(jié)論。教學(xué)中，教師千萬(wàn)不要包辦代替，讓學(xué)生說(shuō)出來(lái)效果會(huì)更好。通過(guò)這樣的鋪墊，在學(xué)習(xí)奇函數(shù)的概念時(shí)，學(xué)生很容易得出：自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值也互為相反數(shù)。有了（1）的基礎(chǔ)，接下來(lái)是將學(xué)生總結(jié)的結(jié)論符號(hào)化。

（２）你能否用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論？

在概念的教學(xué)上，這是一個(gè)關(guān)鍵的過(guò)程，也是比較困難的一件事情，但還是要讓學(xué)生自己完成從文字語(yǔ)言的敘述到用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的過(guò)程，為了加強(qiáng)效果，可以讓學(xué)生不要看教材，自己獨(dú)立思考。

筆者在教學(xué)中得到了學(xué)生的幾種不同的表達(dá)方式：

① ：如果對(duì)于函數(shù)Y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)Y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。

② ：如果對(duì)于函數(shù)Y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有

那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)Y=f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。

   應(yīng)當(dāng)注意的是②中，還有一種就是教材中的敘述方式。在這里學(xué)生的創(chuàng)造性得到了發(fā)揮，語(yǔ)言表達(dá)能力也得到了訓(xùn)練。

   總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方式是很多的，這里不再一一的闡述，概念是數(shù)學(xué)的靈魂，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李邦河院士認(rèn)為數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要強(qiáng)化基本概念和基本思想的教學(xué)，把一些核心的概念貫穿到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程中來(lái)，認(rèn)真研究教學(xué)方法，提高概念的教學(xué)水平。

       （本文獲“全國(guó)中小學(xué)素質(zhì)教育創(chuàng)新與實(shí)踐” 二等獎(jiǎng)）