中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

          中央民族大學(xué)附屬中學(xué)     廖海峰

    【內(nèi)容提要】

創(chuàng)新始于問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)施創(chuàng)新教育，要遵偱發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，從而執(zhí)著地探索解決問題，使學(xué)生感受到創(chuàng)新過程帶來的“快樂”體驗(yàn)，進(jìn)一步地激勵學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，形成一種良性機(jī)制，對學(xué)生的教育意義極其重大。

    【主題詞】

數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育  發(fā)現(xiàn)問題   歸納猜想  類比猜想  逆向思維

     【正文】

    “創(chuàng)新”一詞就是創(chuàng)立或創(chuàng)造新的東西的意思，創(chuàng)新教育就是指培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的教育，是指通過對學(xué)生施以教育和影響，以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能和一定的思維能力為基礎(chǔ)，使他們能夠發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識有意義的新知識、新思想、新事物、新方法。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施創(chuàng)新教育，就是根據(jù)學(xué)生的具體情況及數(shù)學(xué)知識本身的內(nèi)在規(guī)律，通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動，使他們具有發(fā)現(xiàn)并解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二十一世紀(jì)人才的培養(yǎng)是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，而創(chuàng)新人才的培養(yǎng)離不開創(chuàng)新教育。隨著社會的發(fā)展，作為素質(zhì)教育重要內(nèi)容的“創(chuàng)新教育”已成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視創(chuàng)新教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力是時代對數(shù)學(xué)教育提出的新要求。在新課程的標(biāo)準(zhǔn)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)新能力，這是我們教師所面臨的一個新的挑戰(zhàn)。

創(chuàng)新始于問題，愛因斯坦強(qiáng)調(diào)：“發(fā)現(xiàn)問題和系統(tǒng)闡述問題可能要比得到解答更為重要，解答可能僅僅是數(shù)學(xué)或?qū)嶒?yàn)技能問題。”所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)施創(chuàng)新教育，首先是要創(chuàng)建恰當(dāng)?shù)那榫常?/SPAN>引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，然后才是讓學(xué)生主動地分析、解決問題。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，問題的發(fā)現(xiàn)是有規(guī)律可偱的。在中學(xué)階段可運(yùn)用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題。

下面用一個案例來談?wù)勗趯?shí)際中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比猜想、歸納猜想和逆向思維來發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力。這個案例是從類比猜想提出問題開始，到最后問題的解決經(jīng)歷了近兩年的時間，經(jīng)歷了非常曲折的過程。

我在高一給學(xué)生復(fù)習(xí)反比例函數(shù)時，學(xué)生在初中就知道其圖像為雙曲線，有兩條漸近線。后來講到函數(shù)時，其圖像形狀與雙曲線相似，也有兩條漸近線，于是就引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比猜想，提出這樣的問題：函數(shù)的圖像是否雙曲線？由于高一的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)圓錐曲線，所以我告訴學(xué)生，要等到高二系統(tǒng)學(xué)習(xí)了雙曲線后才能解決這個問題，于是就將這個問題暫時擱置下來。

等到在高二給學(xué)生講雙曲線時，利用雙曲線的性質(zhì)，找到雙曲線的對稱軸，從而找到雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線上的任意動點(diǎn)，可證明動點(diǎn)滿足：，符合雙曲線的定義，也就說明函數(shù)的圖像為雙曲線。學(xué)生自然地也試圖運(yùn)用雙曲線的定義來證明函數(shù)的圖像也是雙曲線，但是有很大的困難，因?yàn)椴缓么_定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以利用雙曲線的定義來證明函數(shù)的圖像是雙曲線沒有成功。

觀察函數(shù)的圖像易知：過圖像上任意點(diǎn)分別作兩漸近線的平行線，兩平行線分別與兩漸近線交于兩點(diǎn)，四邊形的面積為定值。

后來通過《幾何畫板》研究雙曲線時，也得到雙曲線也有相同的性質(zhì)：過雙曲線上任意點(diǎn)分別作兩漸近線的平行線，兩平行線分別與兩漸近線交于兩點(diǎn)，四邊形的面積為定值。

學(xué)生很自然地運(yùn)用歸納猜想，得到雙曲線有如下性質(zhì)：過雙曲線上任意一點(diǎn)分別作漸近線的平行線，與兩漸近線的交點(diǎn)為，則平行四邊形的面積為定值。學(xué)生通過證明，發(fā)現(xiàn)這個定值為。

學(xué)生運(yùn)用逆向思維，大膽地提出了這樣一個問題：過動點(diǎn)分別作兩直線的平行線，與這兩直線分別交于兩點(diǎn)，若平行四邊形的面積為定值，動點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線？

對于學(xué)生提出的這個問題，我馬上給予了肯定，這個問題同時也引起了同學(xué)們的極大的興趣。學(xué)生運(yùn)用剛學(xué)的解析幾何中曲線與方程的思想，發(fā)現(xiàn)只要求出了動點(diǎn)的軌跡方程，就能解決這個問題。學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的軌跡方程的求法，求動點(diǎn)的軌跡方程：

已知直線，，，

聯(lián)立得點(diǎn)，

，

點(diǎn)到直線的距離為，

所以四邊形的面積

，

而，所以有，

從而得到動點(diǎn)的方程為，表明動點(diǎn)軌跡為互為共軛的雙曲線，以上結(jié)論表明：我們可以從另一個角度來定義雙曲線。

最后讓我沒有想到的是，學(xué)生將高一沒有解決的問題，又重新提了出來：函數(shù)的圖像是否雙曲線？并根據(jù)以上的結(jié)論，并提出可以運(yùn)用以上結(jié)論來證明函數(shù)的圖像是雙曲線：要證函數(shù)的圖像是雙曲線，即證如圖所示平行四邊形的面積為定值即可。學(xué)生證明如下：

令，所以，得到平行四邊形的面積，因此證明了函數(shù)的圖像是雙曲線，同理易證函數(shù)的圖像也是雙曲線，且與函數(shù)的圖像是互為共軛的雙曲線。

通過以上問題的解決過程，使我感觸很深，學(xué)生從類比猜想得到的問題開始，在歷時近兩年的時間內(nèi)，一直保持著強(qiáng)烈的“好奇”與“質(zhì)疑”，在執(zhí)著地探索問題的解決，從而激發(fā)了學(xué)生一連串的思考，引起學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望，最終解決了提出的問題，這實(shí)際上就是一次完整創(chuàng)新體驗(yàn)活動。而這種創(chuàng)新體驗(yàn)活動，給學(xué)生帶來了“快樂”的體驗(yàn)，進(jìn)一步地激勵學(xué)生再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，形成一種良性機(jī)制，對學(xué)生的教育意義是極其重大的。

問題是思維的動力，是創(chuàng)新精神的基石。培養(yǎng)創(chuàng)新精神，應(yīng)始于問題意識。然而問題意識不是天生的，它也需要培養(yǎng)和激發(fā)。所以在數(shù)學(xué)教育中實(shí)施素質(zhì)教育，就是要對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新教育，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，從而引起學(xué)生執(zhí)著地探索解決問題，可以讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而激勵再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)新，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域培養(yǎng)更多的創(chuàng)新型人才。

   【參考文獻(xiàn)】

青島大學(xué)師范學(xué)院學(xué)報《強(qiáng)化問題意識，培養(yǎng)創(chuàng)新人才》作者：李明蘭