對稱美是永恒的美，也是數(shù)學(xué)長期追求的目標，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來剖析與函數(shù)對稱有關(guān)的性質(zhì)。
       一、函數(shù)自身的對稱性探究
       定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)對稱的充要條件是
       f (x) + f (2a－x) = 2b
       證明：（必要性）設(shè)點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，∵點P( x ,y)關(guān)于點A (a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)圖像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得證。
       （充分性）設(shè)點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)
       ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
       故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P‘關(guān)于點A (a ,b)對稱，充分性得征。
       推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0
       定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對稱的充要條件是
　    f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)  （證明留給讀者）
       推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (－x)
       定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。
       ②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。
       ③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱又關(guān)于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。
       ①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
       ∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱，
       ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
       f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
       又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，
       ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得
       f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**）
       用2（a－b）－x代x得
       f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
       f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。
       二、不同函數(shù)對稱性的探究
       定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關(guān)于點A (a ,b)成中心對稱。
       定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對稱。
        ②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。
       ③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對稱。
       定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
       設(shè)點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1， y1），則x1= a + y0, y1= x0－a ，∴x0= a + y1, y0= x1－a 代入y0 = f (x0) 之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P‘（x1， y1）在函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上。
        同理可證：函數(shù)x－a = f (y + a)的圖像上任一點關(guān)于直線x－y = a的軸對稱點也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
       推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。
       三、 三角函數(shù)圖像的對稱性列表
         
       ②y = tan x的所有對稱中心坐標應(yīng)該是(kπ/2 ,0 )，容易錯誤的認為是（kπ, 0）
       四、函數(shù)對稱性應(yīng)用舉例
       例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（   ）    
       (A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)        (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)    (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)        (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)
       解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，∴f (10+x) = f (10－x).
             ∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)，
             ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。故選(A)               
        例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
       （A）    1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。 、
       解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，
        ∴y = g-1(x－2) 反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
       故f(4) = 2001,應(yīng)選（C）
       例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時，
        f (x) = －x，則f (8.6 ) = _________         
         解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對稱軸；
       又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
       例4. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= －f(x),當(dāng)0≤x≤1時，
       f (x) = x，則f (7.5 ) = （  ）
       (A)  0.5        (B)  －0.5      (C) 1.5      (D) －1.5
       解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；
       又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。
        ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5  故選(B)

                                                       （ 作者單位：河南省沈丘縣第二高中）