文/子成文

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要的恒等變形問題，不僅在通分、約分時(shí)要直接用到它，而且在解方程以及三角式的變形，甚至在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，也起到十分重要的作用，因此，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。

因式分解指的是把一個(gè)多項(xiàng)式表示成幾個(gè)既約因式的乘積，它是整數(shù)中素因數(shù)分解的推廣與發(fā)展。它們不僅有關(guān)類似的概念，在整除性質(zhì)和論證的理論方面也是平行的。

學(xué)習(xí)因式分解，主要討論兩個(gè)基本問題。一是怎樣判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否可約。二是如果一個(gè)多項(xiàng)式是可約的，究竟如何去分解。

現(xiàn)在來回答第一個(gè)問題。

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，只有一次式是既約的，任何次數(shù)大于1的多項(xiàng)式，都可以分解成一次因式的乘積。

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，次數(shù)≥3的多項(xiàng)式總是可約的，即在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，除一次式是既約的以外，可能有的二次式也是既約的。

在有理數(shù)范圍內(nèi)，情況比較復(fù)雜，除一次式是既約的以外，次數(shù)高于1的多項(xiàng)式都可能是既約的。有一些判定多項(xiàng)式是否可約的定理，例如有一個(gè)稱為艾森斯因既性判定法，如下所述：

設(shè)f(x)是一個(gè)整系數(shù)多面式，若它的首項(xiàng)系數(shù)以外的所有各項(xiàng)系數(shù)都能被某一數(shù)P整除，且常數(shù)項(xiàng)可被P整除，便不能被P2整除，則f(x)在有理數(shù)范圍內(nèi)是既約的。

關(guān)于第二個(gè)問題，有一個(gè)重要的定理：

任何一個(gè)次數(shù)≥1的多項(xiàng)式，都可以分解為有限個(gè)既約多項(xiàng)式的乘積；且這種分解式除去因式的次序及常數(shù)因式外是唯一的。

這個(gè)定理常稱為分解唯一性定理，遺憾的是這個(gè)重要定理并沒有告訴我們?cè)鯓尤��?duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，僅給出了分解的可能性。然而也并非在任何數(shù)域內(nèi)都成立。

那么第二個(gè)問題有沒有一個(gè)確定的方法，經(jīng)過有限次的算述運(yùn)算，把一個(gè)多項(xiàng)式分解為既約因式的乘積呢？在復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否定的。在有理數(shù)范圍內(nèi)是肯定的。就是下面的克倫奈克的定理。

任何一個(gè)次數(shù)≥1的有理系數(shù)多項(xiàng)式，總可以經(jīng)過有限次算術(shù)運(yùn)算把它分解為有理系數(shù)既約多項(xiàng)式的積。

在中學(xué)數(shù)學(xué)課本里，關(guān)于第二個(gè)問題，給出了幾種常用的方法，需要對(duì)不同的多項(xiàng)式運(yùn)用不同的方法。

首先是提取公因式法。這個(gè)方法的理論根據(jù)是分配性質(zhì)的應(yīng)用，在運(yùn)用這種方法時(shí)，要對(duì)所要分解的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察分析，找出公因式運(yùn)用此法的關(guān)鍵。其次是運(yùn)用公式法。常用的幾個(gè)公式包括二次的和三次的。教師在講解公式時(shí)，指出公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。對(duì)于初學(xué)者來說，一個(gè)多項(xiàng)式符合某一公式的形式，不是很容易看得出來的。在一段時(shí)間里要注重這方面的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們觀察與分析諸多多項(xiàng)式的能力，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生啟發(fā)誘導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化的思想，了解換之的思想方法。提取公因與運(yùn)用公式法是最基本的方法，也是最重要的方法。

如果所給多項(xiàng)式，不便于直接運(yùn)用上述兩種基本方法，那么，就考慮運(yùn)用分組分解法。在教學(xué)中要善于啟發(fā)學(xué)生觀察、分析多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，充分利用兩種基本方法，確定分組方法。由于多項(xiàng)式形式復(fù)雜多樣，適當(dāng)選擇幾種類型分組方法的題目，提高學(xué)生分析和解決問題的能力是必要的。

十字相乘法是關(guān)于二次三項(xiàng)式的分解方法。教師在講解此種方法時(shí)，應(yīng)該重在理解，引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、分析等號(hào)左右兩端結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)已知數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而歸納出十字圖解的形式。為了直觀可以如下表示：

把觀察到的關(guān)于已知數(shù)之間的結(jié)構(gòu)特性歸結(jié)為十字圖的簡(jiǎn)潔形式，即便于記憶，又便于運(yùn)用。地址：云南省永勝縣大安中學(xué)