文／周詠梅

同學(xué)們，我們已經(jīng)知道判別兩個(gè)三角形全等的方法有：“SSS”，“SAS”，“ASA”和“AAS”．從三角形的邊、角中尋找三角形全等的條件是判斷全等的難點(diǎn)，怎樣尋找條件呢？下面介紹幾種尋找全等三角形條件的常用方法，以幫助同學(xué)們提高解題速度．

一、利用公共邊或公共角相等

例1  如圖1，AD//BC且AD=BC，試問△ACD與△CAB全等嗎？為什么？

分析：通過AD//BC，可得出∠DAC=∠BCA，兩個(gè)三角形有一邊一角對(duì)應(yīng)相等了，再加上公共邊AC=CA，就可證出兩個(gè)三角形全等．

解：因?yàn)锳D//BC

所以∠DAC=∠BCA．

在△ACD和△CAB中 

∴△ACD≌△CAB（SAS）

二、利用對(duì)頂角相等

例2：要測(cè)出一池塘兩端A、B的距離，如圖3，設(shè)計(jì)如下方案：先在平地上取一點(diǎn)可以直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=AC，連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=BC，最后測(cè)出DE的長(zhǎng)即為A、B之間的距離，為什么？

分析：已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，再找夾角．根據(jù)對(duì)頂角相等，用SAS公理即可證明兩個(gè)三角形全等．

解：在△ABC和△DEC中

∴△ABC≌△DEC（SAS）

∴AB=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

三、利用等邊或等角加、減等邊或等角，其和、差相等  

例3如圖3，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于點(diǎn)O.

求證： △ABC≌△AED.

分析：要證△ABC≌△AED，由已知條件可知缺一對(duì)角相等，根據(jù)∠BAD＝∠EAC，可得到∠BAC=∠EAD，因此可證得兩個(gè)三角形全等.

證明：∵∠BAD=∠EAC

      ∴∠BAC=∠EAD

      在∆ABC和∆AED中

      AB=AE

      ∠BAC=∠EAD

      AC=AD

    ∴∆ABC≌∆AED(SAS)

四、利用同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等

例4 如圖4，已知點(diǎn)在線段上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．

求證：．

分析：由AB∥DE，可得到∠B=∠DEF，再根據(jù)BE=CF，得到BC=EF，因此可得出兩個(gè)三角形全等.

證明：．

．

（ASA）.

五、利用等角的補(bǔ)角相等

 例5如圖5，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2.

     求證：AB=AD.

分析：由∠1=∠2，可得出∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，再結(jié)合角平分線得到∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，因此得到兩個(gè)三角形全等.

證明：∵AC平分∠BAD，

　∴∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．

　∵∠1=∠2，

∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．

在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中

∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＡＡＳ）．

∴ＡＢ＝ＡＤ．

六、利用垂直得到角相等

例6（2009年北京市）已知：如圖6，在△ABC中，∠ACB=，于點(diǎn)D,點(diǎn)E 在AC上，CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .

求證：AB=FC.

分析：題中有兩個(gè)垂直的條件，若要證明AB=FC，需要證明這兩條邊所在的三角形全等，但是已知條件中缺一對(duì)角相等，可用題目中的垂直條件做橋梁，進(jìn)行得到兩個(gè)三角形全等.

  證明：∵FE⊥AC于點(diǎn)E，∠ACB=90°，

        ∴∠FEC=∠ACB=90°

        ∴∠F+∠ECF=90°

      又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,

        ∴∠A+∠ECF=90°

        ∴∠A=∠F

     在∆ABC和∆FCE中

         ∠A=∠F

         ∠ACB=∠FEC

         BC=CE

       ∴∆ABC≌∆FCE

       ∴AB=FC

（作者單位：江蘇省鹽城市臺(tái)南中學(xué)）